Asal Çarpan Hesaplama

Asal Çarpan Nedir?

Asal çarpanlar, bir tam sayıyı kalansız olarak bölebilen asal sayılardır. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı şeklinde ifade etmektir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. Bu çarpanlar arasındaki asal sayılar ise 2 ve 3’tür. Dolayısıyla 12’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür ve sayı 2 × 2 × 3 şeklinde ifade edilir.

Asal Çarpan Hesaplama Nasıl Yapılır?

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için ‘bölme yöntemi’ kullanılır. Bu yöntemde sayı, bölünebildiği en küçük asal sayıdan başlayarak sürekli bölünür. Bölme işlemi, sonuç 1 olana kadar devam eder. Bu süreçte kullanılan tüm bölenler, sayının asal çarpanlarıdır. Algoritma şu adımları izler:

• Sayıyı en küçük asal sayı olan 2’ye böl. Bölünebildiği kadar bölmeye devam et. Her başarılı bölme için ‘2’ bir asal çarpandır.
• Sayı artık 2’ye bölünemiyorsa, bir sonraki asal sayı olan 3’e geç. Bölünebildiği kadar böl.
• Bu işlemi, sayının karekökünden küçük veya eşit olan asal sayılarla sırayla devam ettir.
• Tüm bölme işlemlerinden sonra geriye 1’den büyük bir sayı kalırsa, bu sayı da bir asal çarpandır.

Örnek: 90 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
1. 90’ı 2’ye böleriz: 90 / 2 = 45. (İlk çarpan: 2)
2. 45, 2’ye bölünmez. 3’e böleriz: 45 / 3 = 15. (İkinci çarpan: 3)
3. 15’i tekrar 3’e böleriz: 15 / 3 = 5. (Üçüncü çarpan: 3)
4. 5, 3’e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5’e böleriz: 5 / 5 = 1. (Dördüncü çarpan: 5)
Sonuç olarak, 90 sayısının asal çarpanları çarpım şeklinde 2 × 3 × 3 × 5 olarak bulunur.

Çarpan Ağacı Nedir?

Çarpan ağacı, bir sayının asal çarpanlarını bulma işlemini görselleştiren bir diyagramdır. Sayı en üste yazılır ve dallara ayrılarak iki çarpanına bölünür. Bu işlem, dalların ucundaki tüm sayılar asal olana kadar devam eder. Aracımız, bu görselleştirmeyi sizin için otomatik olarak oluşturur.

Örnek: 90 sayısı için çarpan ağacı şu şekilde dallanır:
– 90, 2 ve 45 olarak iki dala ayrılır.
– 2 asal olduğu için o dal biter.
– 45, 3 ve 15 olarak iki dala ayrılır.
– 3 asal olduğu için o dal biter.
– 15, 3 ve 5 olarak iki dala ayrılır.
– 3 ve 5 asal olduğu için bu dallar da biter.
Ağacın en uçlarındaki asal sayılar (2, 3, 3, 5) sayının asal çarpanlarını verir.

Önemli Bilgiler

• Asal Sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır. İlk birkaç asal sayı 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… şeklindedir.
• Kullanım Alanları: Asal çarpanlara ayırma, matematikte en büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK) hesaplamalarında, kesirleri sadeleştirmede ve kriptografi (şifreleme bilimi) gibi alanlarda temel bir rol oynar.
• Hesaplama Sınırı: Aracımız, 2 ile 10.000.000 arasındaki tam sayılar için hesaplama yapmaktadır.