Standart Sapma Hesaplama

Standart Sapma Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin, veri setinin aritmetik ortalamasına göre ne kadar yayıldığını gösteren istatistiksel bir ölçüdür. Düşük bir standart sapma, veri noktalarının ortalamaya çok yakın olma eğiliminde olduğunu gösterirken, yüksek bir standart sapma verilerin daha geniş bir aralığa yayıldığını gösterir. Standart sapma hesaplama aracı, girdiğiniz sayı dizisi için hem örneklem hem de popülasyon standart sapmasını ve ilgili diğer istatistiksel değerleri hesaplar.

Hesaplama temel olarak üç adımda yapılır: aritmetik ortalamanın bulunması, varyansın hesaplanması ve varyansın karekökünün alınması.

1. Adım: Aritmetik Ortalamanın Hesaplanması

Aritmetik ortalama, veri setindeki tüm değerlerin toplamının, veri setindeki eleman sayısına bölünmesiyle bulunur.

Aritmetik Ortalama (μ veya x̄) = (Tüm değerlerin toplamı) / (Değer sayısı)

Örnek olarak 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 veri setini ele alalım.
Değerlerin toplamı: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
Değer sayısı: 8
Aritmetik Ortalama = 40 / 8 = 5

2. Adım: Varyansın Hesaplanması

Varyans, her bir veri noktasının ortalamadan farkının karesinin ortalamasıdır. Popülasyon (tüm veri kümesi) ve örneklem (veri kümesinden bir alt küme) için farklı formüller kullanılır.

Popülasyon Varyansı (σ²) = Σ(xᵢ – μ)² / N
(Her değerin ortalamadan farkının kareleri toplamı / Değer sayısı)

Yukarıdaki örnek için Popülasyon Varyansı:
Farkların kareleri toplamı: (2-5)² + (4-5)² + (4-5)² + (4-5)² + (5-5)² + (5-5)² + (7-5)² + (9-5)² = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
Popülasyon Varyansı (σ²) = 32 / 8 = 4

Örneklem Varyansı (s²) = Σ(xᵢ – x̄)² / (n-1)
(Her değerin ortalamadan farkının kareleri toplamı / (Değer sayısı – 1))

Aynı veriyi bir örneklem olarak kabul edersek:
Farkların kareleri toplamı = 32
Örneklem Varyansı (s²) = 32 / (8 – 1) = 32 / 7 ≈ 4.5714

3. Adım: Standart Sapmanın Hesaplanması

Standart sapma, varyansın pozitif kareköküdür.

Popülasyon Standart Sapması (σ) = √Popülasyon Varyansı

Örnek için Popülasyon Standart Sapması: σ = √4 = 2

Örneklem Standart Sapması (s) = √Örneklem Varyansı

Örnek için Örneklem Standart Sapması: s = √4.5714 ≈ 2.1381

Popülasyon ve Örneklem Arasındaki Fark

Hangi formülün kullanılacağı, elinizdeki verinin tüm bir grubu mu (popülasyon) yoksa daha büyük bir grubun bir parçasını mı (örneklem) temsil ettiğine bağlıdır:

• Popülasyon: Analiz etmek istediğiniz grubun tamamına ait verileri içerir. Örneğin, bir sınıftaki tüm öğrencilerin final sınavı notları. Bu durumda popülasyon formülleri kullanılır.
• Örneklem: Daha büyük bir popülasyon hakkında çıkarım yapmak için toplanan bir veri alt kümesidir. Örneğin, Türkiye’deki tüm üniversite öğrencilerinin boy ortalamasını tahmin etmek için 500 öğrencinin boyunu ölçmek. Bu durumda örneklem formülleri kullanılır. Örneklem formülünde paydanın ‘n-1’ olması (Bessel düzeltmesi), popülasyon varyansına dair daha yansız bir tahmin sağlar.

Formül Özeti